Question

【題目】設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過AB的中點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線與拋物線交于點(diǎn)P，若 ，則弦長|AB|等于（ ）
A.2
B.4
C.6
D.8

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵拋物線方程為y2=4x，
∴2p=4，p=2，可得拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線為l：x=﹣1，
設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直線AB的方程為y=k（x﹣1），
由 消去y，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，
∴x1+x2= ，x1x2=1，
∵過AB的中點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線與拋物線交于點(diǎn)P，
∴設(shè)P的坐標(biāo)為（x0 ， y0），可得y0= （y1+y2），
∵y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），
∴y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=k ﹣2k= ，
得到y(tǒng)0= = ，所以x0= = ，可得P（ ， ）．
∵ ，∴ = ，解之得k2=2，
因此x1+x2= =4，根據(jù)拋物線的定義可得|AB|=x1+x2+p=4+2=6．
故選：C