【題目】已知A，B為橢圓上的兩個動點，滿足．

（1）求證：原點O到直線AB的距離為定值；

（2）求的最大值；

（3）求過點O，且分別以OA，OB為直徑的兩圓的另一個交點P的軌跡方程．

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）當(dāng)直線AB的斜率不存在時，將代入橢圓方程可得，即可得原點O到直線AB的距離為；當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為，，，與橢圓方程聯(lián)立，可得，又，則，利用韋達(dá)定理代入化簡可得，則原點O到直線AB的距離，故原點O到直線AB的距離為定值；

（2）由（1）可得，又且，即可得的最大值；

（3）如圖所示，過點O，且分別以OA，OB為直徑的兩圓的另一個交點P的軌跡滿足：，，可得P，A，B三點共線. 由（1）可知：原點O到直線AB的距離為定值，即可得點的軌跡方程.

（1）證明：當(dāng)直線AB的斜率不存在時，由代入橢圓方程可得：，解得，此時原點O到直線AB的距離為．

當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為，，．

聯(lián)立，化為，

，則，，

．

，

化為，

化為，

化為，

原點O到直線AB的距離．

綜上可得：原點O到直線AB的距離為定值．

（2）解：由（1）可得，

，

，

又，

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．

的最大值為．

（3）解：如圖所示，過點O，且分別以OA，OB為直徑的兩圓的另一個交點P的軌跡滿足：，．

因此P，A，B三點共線．

由（1）可知：原點O到直線AB的距離為定值．

分別以OA，OB為直徑的兩圓的另一個交點P的軌跡方程為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ ）的周期為π，且圖象上的一個最低點為M（ ）．

（1）求f（x）的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）當(dāng)x∈[0，]時，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，其中a為常數(shù)．

Ⅰ當(dāng)，求a的值；

Ⅱ當(dāng)時，關(guān)于x的不等式恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)有邊長分別3，4，5的三角形兩個，邊長分別4，5，的三角形四個，邊長分別為，4，5的三角形六個.用上述三角形為面，可以拼成______個四面體.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求證：函數(shù)恰有一個負(fù)零點；（用圖象法證明不給分）

（2）若函數(shù)恰有三個零點，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出以下關(guān)于線性方程組解的個數(shù)的命題．

①，②，③，④，

（1）方程組①可能有無窮多組解；

（2）方程組②可能有且只有兩組不同的解；

（3）方程組③可能有且只有唯一一組解；

（4）方程組④可能有且只有唯一一組解．

其中真命題的序號為________________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).其中表示的導(dǎo)函數(shù)在的取值．

(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若在的定義域內(nèi)恒成立，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求該函數(shù)的定義域；

（2）當(dāng)時，如果對任何都成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若，將函數(shù)的圖像沿軸方向平移，得到一個偶函數(shù)的圖像，設(shè)函數(shù)的最大值為，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知正項數(shù)列，滿足：對任意正整數(shù)，都有，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，且，．

（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列，的通項公式；

（Ⅲ）設(shè)=++…+，如果對任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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