Question

【題目】已知函數(shù).其中表示的導(dǎo)函數(shù)在的取值．

(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若在的定義域內(nèi)恒成立，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）f’(0)=-1,的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）當(dāng)時(shí)，的最小值為.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）問題轉(zhuǎn)化為ln（x+1）﹣ax﹣b≤0恒成立，設(shè)g（x）=ln（x+1）﹣ax﹣b，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出g（x）的最大值，根據(jù)≥+1，令h（a）=﹣+1（a＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出其最小值即可．

（1）由題意的定義域，

又

當(dāng)時(shí)

，

解得，

又，

令，解得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

（2）由題意：

，在上恒成立，

即恒成立.

設(shè)，

1°當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)為減函數(shù).

對(duì)任意，總存在，使，

且當(dāng)時(shí)，.

即，不適合題意；

2°當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，為常數(shù)函數(shù).

對(duì)任意，總存在，使.

且當(dāng)時(shí)，總有.

即，不適合題意.

3°當(dāng)時(shí)，，

令解得，

故時(shí)，單調(diào)遞增.

時(shí)，單調(diào)遞減，

所以.

因此，

所以，

故，

令，

，令，得，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

，

所以，當(dāng)時(shí)，的最小值為.