【題目】已知圓：，過且與圓相切的動圓圓心為.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)的直線交曲線于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交曲線于，兩點(diǎn)，且，垂足為（，，，為不同的四個(gè)點(diǎn)）.

①設(shè)，證明：；

②求四邊形的面積的最小值.

【答案】（1）.（2）①見解析.②.

【解析】試題分析：

（1）設(shè)動圓半徑為，由于在圓內(nèi)，圓與圓內(nèi)切，由題意可得 ，則點(diǎn)的軌跡是橢圓，其方程為.

（2）①由題意可知，而，，，為不同的四個(gè)點(diǎn)，故.

②若或的斜率不存在，四邊形的面積為.否則，設(shè)的方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得，同理得，則 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.則四邊形的面積取得最小值為.

試題解析：

（1）設(shè)動圓半徑為，由于在圓內(nèi)，圓與圓內(nèi)切，

則，， ，

由橢圓定義可知，點(diǎn)的軌跡是橢圓，，，，

的方程為.

（2）①證明：由已知條件可知，垂足在以為直徑的圓周上，

則有，

又因，，，為不同的四個(gè)點(diǎn)，.

②解：若或的斜率不存在，四邊形的面積為.

若兩條直線的斜率存在，設(shè)的斜率為，

則的方程為，

解方程組，得 ，

則，

同理得，

∴ ，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取得最小值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，以為頂點(diǎn)的六面體中，和均為等邊三角形，，且平面平面，平面，是的中點(diǎn)，連接.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求三棱錐的體積.

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【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（是參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求的直角坐標(biāo)方程和的普通方程；

（2）與相交于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)為上異于的一點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)到的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面，為直角梯形，，，，，過點(diǎn)作平面平行于平面，平面與棱，，，分別相交于點(diǎn)，，，.

(1)求的長度；

(2)求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在以、、、、、為頂點(diǎn)的五面體中，平面平面，，四邊形為平行四邊形，且.

（1）求證：；

（2）若，，直線與平面所成角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：（）的左右焦點(diǎn)分別為，且關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在直線上.

（1）求橢圓的離心率；

（2）若過焦點(diǎn)垂直軸的直線被橢圓截得的弦長為，斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，問是否存在定點(diǎn)，使得，的斜率之和為定值？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)（其中）．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖（1）五邊形中，

,將沿折到的位置，得到四棱錐，如圖（2），點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且平面.

（1）求證：平面平面；

（2）若直線與所成角的正切值為，求直線與平面所成角的正弦值.

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