Question

【題目】設(shè)函數(shù)（其中）．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，討論函數(shù)的零點個數(shù)．

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)函數(shù)在定義域上有且只有一個零點．

【解析】試題分析：（1）由題意得函數(shù)函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導(dǎo)，再對進(jìn)行分類討論，根據(jù)與，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）依題意得，結(jié)合第一問的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖象，從兩個方面考慮函數(shù)的變化趨勢，或時，從而可得零點的個數(shù).

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為，，

①當(dāng)時，令，解得.

∴的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，

②當(dāng)時，令，解得或.

∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

③當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.

④當(dāng)時，令，解得或，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2），①當(dāng)時，由（1）知，當(dāng)時，，此時無零點，當(dāng)時，.

又∵在上單調(diào)遞增

∴在上有唯一的零點

∴函數(shù)在定義域上有唯一的零點，

②當(dāng)時，由（1）知，當(dāng)時，，此時無零點；當(dāng)時，，.

令，則，

∵在上單調(diào)遞增，，

∴在上單調(diào)遞增，得，即.

∴在上有唯一的零點，故函數(shù)在定義域上有唯一的零點．

綜合①②知，當(dāng)時函數(shù)在定義域上有且只有一個零點．