Question

12．已知cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，向量$\overrightarrow$為單位向量，向量$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（cos$\frac{nπ}{7}$，sin$\frac{nπ}{7}$）（n∈N^*），則|$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow$|²+|$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow$|²+|$\overrightarrow{{a}_{3}}$+$\overrightarrow$|²+…+|$\overrightarrow{{a}_{141}}$+$\overrightarrow$|²的最大值為（　�。�

• A． 284
• B． 285
• C． 286
• D． 287

Answer 1

分析 根據(jù)題意寫出y的表達式，再設(shè)出$\overrightarrow$=（cosθ，sinθ），計算出$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{141}}$的結(jié)果，然后代入，運用正弦函數(shù)的值域，求出函數(shù)的最大值，進而得到答案．

解答 解：由向量$\overrightarrow$為單位向量，可設(shè)$\overrightarrow$=（cosθ，sinθ），
$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（cos$\frac{nπ}{7}$，sin$\frac{nπ}{7}$），可得$\overrightarrow{{a}_{n}}$²=$\overrightarrow$²=1，
則y=|$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow$|²+|$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow$|²+|$\overrightarrow{{a}_{3}}$+$\overrightarrow$|²+…+|$\overrightarrow{{a}_{141}}$+$\overrightarrow$|²
=（$\overrightarrow{{a}_{1}}$²+$\overrightarrow{{a}_{2}}$²+…+$\overrightarrow{{a}_{141}}$²）+（$\overrightarrow$²+$\overrightarrow$²+…+$\overrightarrow$²）+2$\overrightarrow$•（$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{141}}$）
=141+141+2（cosθ，sinθ）•（cos$\frac{π}{7}$+cos$\frac{2π}{7}$+…+cos$\frac{141π}{7}$，sin$\frac{π}{7}$+sin$\frac{2π}{7}$+…+sin$\frac{141π}{7}$），
由cos$\frac{π}{7}$+cos$\frac{2π}{7}$+…+cos$\frac{141π}{7}$=（cos$\frac{π}{7}$+cos$\frac{2π}{7}$+…+cos$\frac{14π}{7}$）+…+cos$\frac{141π}{7}$
=0×10+cos$\frac{π}{7}$=cos$\frac{π}{7}$，同理可得sin$\frac{π}{7}$+sin$\frac{2π}{7}$+…+sin$\frac{141π}{7}$=sin$\frac{π}{7}$，
即有y=282+2（cosθcos$\frac{π}{7}$+sinθsin$\frac{π}{7}$）=282+2cos（θ-$\frac{π}{7}$），
當cos（θ-$\frac{π}{7}$）=1，即θ=2kπ+$\frac{π}{7}$，k∈Z時，取得最大值284．
故選A．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標表示和性質(zhì)，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握向量的有關(guān)基本運算以及有關(guān)三角恒等變換的運算．