Question

已知a、b∈R，當(dāng)x＞0時，不等式ax+b≥lnx恒成立，則a+b的最小值為（　　）

• A、-1
• B、0
• C、

  1

  e

• D、1

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,基本不等式

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：令y=lnx-ax-b，求出導(dǎo)數(shù)，當(dāng)a≤0時，y′＞0，函數(shù)遞增，無最值．當(dāng)a＞0時，求得單調(diào)區(qū)間，和極值及最值，進而得到a+b的不等式，再令f（a）=a-1-lna，通過導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間和極值、最值，進而得到a+b的最小值．

解答： 解：令y=lnx-ax-b，
則y′=

1

x

-a=

1-ax

x

（x＞0），
當(dāng)a≤0時，y′＞0，函數(shù)遞增，無最值．
當(dāng)a＞0時，0＜x＜

1

a

時，y′＞0，函數(shù)遞增；當(dāng)x＞

1

a

時，y′＜0，函數(shù)遞減．
則x=

1

a

處取得極大值，也為最大值，且為-lna-1-b．
當(dāng)x＞0時，不等式ax+b≥lnx恒成立，
即有-lna-1-b≤0，
即b≥-1-lna，
a+b≥a-1-lna，
令f（a）=a-1-lna，f′（a）=1-

1

a

=

a-1

a

，
當(dāng)a＞1時，f′（a）＞0，f（a）遞增；當(dāng)0＜a＜1時，f′（a）＜0，f（a）遞減．
則a=1處f（a）取得極小值，也為最小值，且為0．
即有a+b≥0．
即有a+b的最小值為0．
故選：B．

點評：本題考查不等式的恒成立問題注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求極值和最值是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．