Question

3．已知定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）的函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且f（2）=0，又函數(shù)y=$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上是減函數(shù)，則不等式f（x）＞0的解集為（　　）

• A． （-2，0）∪（2，+∞）
• B． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• C． （-2，0）∪（0，2）
• D． （-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，則g（-2）=g（2）=0，函數(shù)y=g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，且是奇函數(shù)，再分類討論，即可得到不等式f（x）＞0的解集．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，則g（-2）=g（2）=0，函數(shù)y=g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，且是奇函數(shù)
∴x＞0時(shí)，g（x）＞0，可得x＜2，∴f（x）＞0的解集為（0，2）；
x＜0時(shí)，g（x）＜0，可得x＞-2，∴f（x）＞0的解集為（-2，0）；
∴不等式f（x）＞0的解集為（-2，0）∪（0，2）．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查不等式f（x）＞0的解集，考查函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．