Question

15．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率e=3，直線y=x+2與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若OA⊥OB，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析 雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率e=3，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1可化為8x²-y²=8a²，把直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y，由根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，進(jìn)一步縱坐標(biāo)的積，由OA⊥OB列式求解a的值，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率e=3，
∴$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}$=9，
∴b²=8a²，
∴雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1可化為8x²-y²=8a²，
直線y=x+2，代入，整理可得7x²-4x-4-8a²=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{4}{7}$，x₁x₂=$\frac{-4-8{a}^{2}}{7}$
y₁y₂=（2+x₁）（2+x₂）=4+2（x₁+x₂）+x₁x₂=$\frac{32-8{a}^{2}}{7}$．
由OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴$\frac{-4-8{a}^{2}}{7}$+$\frac{32-8{a}^{2}}{7}$=0
∴a²=$\frac{7}{4}$，b²=8a²=14．
∴雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{7}{4}}-\frac{{y}^{2}}{14}=1$．

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，常采用“設(shè)而不求”的辦法，借助于一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系解決，訓(xùn)練了數(shù)量積判斷兩個(gè)向量垂直的關(guān)系，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．