Question

11．已知一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為L(zhǎng)．
（1）若L=5，底面半徑為4，求圓錐的全面積；
（2）若L為定值，求當(dāng)圓錐的體積最大時(shí)，圓錐的高為多少？（用L表示）

Answer 1

分析 （1）由已知中圓錐的母線與底面半徑，代入圓錐的表面積公式，可得答案；
（2）設(shè)圓錐的高為h，表示出圓錐的體積公式，利用導(dǎo)數(shù)法，可得當(dāng)圓錐的體積最大時(shí)，圓錐的高．

解答 解；（1）若圓錐的母線L=5，底面半徑r=4，
則圓錐的全面積S=πr（r+L）=36π；
（2）若L為定值，求當(dāng)圓錐的體積最大時(shí)，圓錐的高為h，
則V=$\frac{1}{3}$πh=$\frac{1}{3}$π（L²-h²）h，
則V′=$\frac{1}{3}$π（L²-3h²），
當(dāng)h＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$L時(shí)，V′＞0，當(dāng)h＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$L時(shí)，V′＜0，
故當(dāng)h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$L時(shí)，V取最大值，
即當(dāng)圓錐的體積最大時(shí)，圓錐的高為$\frac{\sqrt{3}}{3}$L．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)體，導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，難度中檔．