Question

已知，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）若是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)上的最小值；

（3）求證：.

 

Answer 1

（1）實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（2）當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

（3）見解析.

【解析】

試題分析：（1）由題意知在上恒成立.

根據(jù)，知在上恒成立，即在上恒成立. 只需求時(shí)，的最大值.

（2）當(dāng)時(shí)，則.

根據(jù)，分別得到的增區(qū)間為（2，＋∞），減區(qū)間為（－∞，0），（0，2）. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111718594179396476/SYS201411171859506068996995_DA/SYS201411171859506068996995_DA.021.png">，所以，

因此，要討論①當(dāng)，即時(shí)，②當(dāng)，即時(shí)，③當(dāng)時(shí)等三種情況下函數(shù)的最小值.

（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，從而

可得 ，

故利用

（1）由題意知在上恒成立.

又，則在上恒成立，

即在上恒成立. 而當(dāng)時(shí)，，所以，

于是實(shí)數(shù)的取值范圍是. 4分

（2）當(dāng)時(shí)，則.

當(dāng)，即時(shí)，；

當(dāng)，即時(shí)，.

則的增區(qū)間為（2，＋∞），減區(qū)間為（－∞，0），（0，2）. 6分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111718594179396476/SYS201411171859506068996995_DA/SYS201411171859506068996995_DA.021.png">，所以，

①當(dāng)，即時(shí)，在[]上單調(diào)遞減，

所以

②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增，所以

③當(dāng)時(shí)，在[]上單調(diào)遞增，所以.

綜上，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，. 9分

（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，所以

可得 11分

于是

14分

考點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值、證明不等式，“裂項(xiàng)相消法”求和，“放縮法”，轉(zhuǎn)化與化歸思想，分類討論思想.