Question

20．以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，曲線M的直角坐標(biāo)方程為x-2y+2=0（x＞0）
（1）以曲線M上的點與點O連線的斜率k為參數(shù)，寫出曲線M的參數(shù)方程；
（2）設(shè)曲線C與曲線M的兩個交點為A，B，求直線OA與直線OB的斜率之和．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{x-2y+2=0}\end{array}\right.$，能求出曲線M的參數(shù)方程．
（2）求出曲線C的直角坐標(biāo)方程為（x-2）²+y²=4，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+{y}^{2}=4}\\{x-2y+2=0}\end{array}\right.$，求出A與B，由此能求出直線OA與直線OB的斜率之和．

解答 解：（1）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{x-2y+2=0}\end{array}\right.$，
得到曲線M的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{2k-1}}\\{y=\frac{2k}{2k-1}}\end{array}\right.$，（k為參數(shù)）．
（2）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為（x-2）²+y²=4，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+{y}^{2}=4}\\{x-2y+2=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{5}}\\{y=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴直線OA與直線OB的斜率之和：
k_OA+k_OB=$\frac{\frac{6}{5}}{\frac{2}{5}}+\frac{2}{2}$=4．

點評 本題考查曲線的參數(shù)方程的求法，考查兩直線斜率之和的求法，考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．