Question

11．已知$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$為互相垂直的單位向量，若向量$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|=1，則|$\overrightarrow{c}$|的取值范圍是[$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$+1]．

Answer 1

分析 作出圖形，由平面向量線性運算的幾何意義可知C在以P為圓心，以1為半徑的圓上．其中P為$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$的終點．

解答 解：設$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，則|OA|=|OB|=1，OA⊥OB，
∴|OP|=$\sqrt{2}$，
∵|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow-\overrightarrow{c}$|=1，即|$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{CP}$|=1，
∴C在以P為圓心，以1為半徑的圓上，
∴$\sqrt{2}-1$≤|OC|≤$\sqrt{2}+1$．
故答案為：[$\sqrt{2}-1$，$\sqrt{2}+1$]．

點評 本題考查了平面向量線性運算的幾何意義，屬于基礎題．