Question

8．定義域為R的函數f（x）滿足f（x+2）=2f（x），當x∈[0，2）時，f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-2x+13，x∈[{0，1}）}\\{xlnx，x∈[{1，2}）}\end{array}}$，若當x∈[-4，-2）時，函數f（x）≥t²+2t恒成立，則實數t的取值范圍為（　�。�

• A． -3≤t≤0
• B． -3≤t≤1
• C． -2≤t≤0
• D． 0≤t≤1

Answer 1

分析 根據題意可知f（x+4）=4f（x），當x∈[-4，-2）時，x+4∈[0，2），根據區(qū)間內的表達式求出f（x+4）的最小值，得出f（x）的最小值，進而求出m的范圍．

解答 解：f（x+2）=2f（x），
∴f（x+4）=4f（x），
∴f（x）=$\frac{1}{4}$f（x+4），
當x∈[-4，-2）時，x+4∈[0，2），
當x∈[0，1）時，函數遞減，最小值為12，
當x∈[1，2）時，函數遞增，最小值為0，
∴f（x）的最小值為$\frac{1}{4}$×0=0，
∴0≥t²+2t，
∴-2≤t≤0，
故選C．

點評 考查了抽象函數的性質應用和恒成立問題的轉化．