Question

19．已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間：
（Ⅱ）設(shè)0＜x₁＜x₂，0＜λ＜1，若λx₁+（1-λ）x₂=e，證明：λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）＞e．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先對函數(shù)y=f（x）進行求導，然后令導函數(shù)大于0（或小于0）求出x的范圍，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可得到答案．
（Ⅱ）令F（x）=λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）-f[λx₁+（1-λ）x₂]，求出F′（x）的導數(shù)，證出結(jié)論即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=ln x+1，f′（x）＞0，得x＞$\frac{1}{e}$；
f′（x）＜0，得0＜x＜$\frac{1}{e}$，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（$\frac{1}{e}$，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，$\frac{1}{e}$）；
（Ⅱ）λx₁+（1-λ）x₂=e，f（e）=e，得：f[λx₁+（1-λ）x₂]=e，
令F（x）=λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）-f[λx₁+（1-λ）x₂]，（0＜x₁＜x₂），
則F′（x）=λln$\frac{x}{{λx}_{1}+（1-λ{）x}_{2}}$，顯然$\frac{x}{{λx}_{1}+（1-λ{）x}_{2}}$=$\frac{1}{λ+（1-λ）\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$＜1，
故F′（x）＜0，F(xiàn)（x）在（0，x₂）遞減，
同時F（x₂）=0，由0＜x₁＜x₂得F（x₁）＞F（x₂）=0，
即λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）-f[λx₁+（1-λ）x₂]＞0，
∴λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）＞f[λx₁+（1-λ）x₂]=e．

點評 本小題主要考查函數(shù)的導數(shù)，單調(diào)性，利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識，考查綜合利用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力，中檔題．