Question

17．已知四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形
（1）若AB=2，BC=6，AD=CD=4，求邊形ABCD的面積；
（2）若圓O的半徑為R=2，角B=60°，求四邊形ABCD的周長的最大值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD，由于A+C=180°則cosA=-cosC，在△BCD中和在△ABD中，分別利用余弦定理列出方程，聯(lián)立后求得BD、角C、A，利用三角形的公式求出四邊形ABCD的面積；
（2）由正弦定理求出AC，在△ABC中和在△ADC中，分別利用余弦定理列出方程，化簡后利用基本不等式分別求出AB+BC、AD+DC范圍，即可四邊形ABCD的周長的最大值．

解答 解：（1）連結(jié)BD，由于A+C=180°，則cosA=-cosC，
由題設(shè)及余弦定理得：
在△BCD中，BD²=BC²+CD²-2BC•CDcosC=13-12cosC，…①
在△ABD中，BD²=AB²+DA²-2AB•DAcosA=5+4cosC，…②
由①-②得，cosC=$\frac{1}{2}$，所以C=60°，則A=120°，
所以邊形ABCD的面積S=S_△ABD+S_△BCD=$\frac{1}{2}AB•ADsinA+\frac{1}{2}BC•CDsinC$
=$\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}×6×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=8$\sqrt{3}$；
（2）∵R=2，B=60°，
∴在△ABC中，由正弦定理得$\frac{AC}{sinB}=2R$，則AC=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
在△ABC中由余弦定理得，AC²=AB²+BC²-2AB•BCcosB，
則AB²+BC²-AB•BC=12，即（AB+BC）²-12=3AB•BC，
∵AB+BC≥$2\sqrt{AB•BC}$，∴AB•BC≤$\frac{（AB+BC）^{2}}{4}$，
代入上式得，（AB+BC）²-12≤$\frac{{3（AB+BC）}^{2}}{4}$，
解得AB+BC≤4$\sqrt{3}$，（當(dāng)且僅當(dāng)AB=BC取等號）
由于B+D=180°，則D=120°，
在△ADC中由余弦定理得，AC²=AD²+DC²-2AD•DCcosD，
則AD²+DC²+AD•DC=12，即（AD+DC）²-12=AD•DC，
∵AD+DC≥$2\sqrt{AD•DC}$，∴AD•DC≤$\frac{{（AD+DC）}^{2}}{4}$，
代入上式得，（AD+DC）²-12≤$\frac{{（AD+DC）}^{2}}{4}$，
解得AD+DC≤4，（當(dāng)且僅當(dāng)AD=DC取等號）
∴四邊形ABCD的周長L=AB+AC+AD+CD≤4$\sqrt{3}$+4=4（$\sqrt{3}+$1），
即四邊形ABCD的周長的最大值是4（$\sqrt{3}+1$）．

點(diǎn)評 本題考查正弦定理和余弦定理，基本不等式的應(yīng)用，以及方程思想，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．