17.已知四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形
(1)若AB=2,BC=6,AD=CD=4,求邊形ABCD的面積;
(2)若圓O的半徑為R=2,角B=60°,求四邊形ABCD的周長的最大值.

分析 (1)連結(jié)BD,由于A+C=180°則cosA=-cosC,在△BCD中和在△ABD中,分別利用余弦定理列出方程,聯(lián)立后求得BD、角C、A,利用三角形的公式求出四邊形ABCD的面積;
(2)由正弦定理求出AC,在△ABC中和在△ADC中,分別利用余弦定理列出方程,化簡后利用基本不等式分別求出AB+BC、AD+DC范圍,即可四邊形ABCD的周長的最大值.

解答 解:(1)連結(jié)BD,由于A+C=180°,則cosA=-cosC,
由題設(shè)及余弦定理得:
在△BCD中,BD2=BC2+CD2-2BC•CDcosC=13-12cosC,…①
在△ABD中,BD2=AB2+DA2-2AB•DAcosA=5+4cosC,…②
由①-②得,cosC=$\frac{1}{2}$,所以C=60°,則A=120°,
所以邊形ABCD的面積S=S△ABD+S△BCD=$\frac{1}{2}AB•ADsinA+\frac{1}{2}BC•CDsinC$
=$\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}×6×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=8$\sqrt{3}$;
(2)∵R=2,B=60°,
∴在△ABC中,由正弦定理得$\frac{AC}{sinB}=2R$,則AC=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$,
在△ABC中由余弦定理得,AC2=AB2+BC2-2AB•BCcosB,
則AB2+BC2-AB•BC=12,即(AB+BC)2-12=3AB•BC,
∵AB+BC≥$2\sqrt{AB•BC}$,∴AB•BC≤$\frac{(AB+BC)^{2}}{4}$,
代入上式得,(AB+BC)2-12≤$\frac{{3(AB+BC)}^{2}}{4}$,
解得AB+BC≤4$\sqrt{3}$,(當(dāng)且僅當(dāng)AB=BC取等號)
由于B+D=180°,則D=120°,
在△ADC中由余弦定理得,AC2=AD2+DC2-2AD•DCcosD,
則AD2+DC2+AD•DC=12,即(AD+DC)2-12=AD•DC,
∵AD+DC≥$2\sqrt{AD•DC}$,∴AD•DC≤$\frac{{(AD+DC)}^{2}}{4}$,
代入上式得,(AD+DC)2-12≤$\frac{{(AD+DC)}^{2}}{4}$,
解得AD+DC≤4,(當(dāng)且僅當(dāng)AD=DC取等號)
∴四邊形ABCD的周長L=AB+AC+AD+CD≤4$\sqrt{3}$+4=4($\sqrt{3}+$1),
即四邊形ABCD的周長的最大值是4($\sqrt{3}+1$).

點評 本題考查正弦定理和余弦定理,基本不等式的應(yīng)用,以及方程思想,考查化簡、變形能力,屬于中檔題.

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