Question

12．在如圖所示的幾何體中，四邊形DCFE為正方形，四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC=$\sqrt{3}$，AB=2BC=2，且AC⊥FB．
（1）求證：平面EAC⊥平面FCB；
（2）若線段AC上存在點M，使AE∥平面FDM，求$\frac{AM}{MC}$的值．

Answer 1

分析 （1）推導出AC⊥BC，AC⊥FB，從而AC⊥平面FBC，由上能證明平面EAC⊥平面FCB．
（2）線段AC上存在點M，且M為AC中點時，連接CE與DF交于點N，連接MN．則EA∥MN．由此推導出線段AC上存在點M，且$\frac{AM}{MC}$=1，使得EA∥平面FDM成立．

解答 證明：（1）在△ABC中，
∵AC=$\sqrt{3}$，AB=2BC=2，
∴AC²+BC²=AB²．
∴AC⊥BC．
又∵AC⊥FB，BF∩CB=B，
∴AC⊥平面FBC．
∵AC?平面平面EAC，
∴平面EAC⊥平面FCB．
（2）線段AC上存在點M，且M為AC中點時，有EA∥平面FDM，
證明如下：
連接CE與DF交于點N，連接MN．
由 CDEF為正方形，得N為CE中點．
∴EA∥MN．
∵MN?平面FDM，EA?平面FDM，
∴EA∥平面FDM．
所以線段AC上存在點M，且$\frac{AM}{MC}$=1，使得EA∥平面FDM成立．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．