Question

設(shè)函數(shù)g（x）=

1

3

x³+ax²的圖象在x=1處的切線平行于直線2x-y=0．記g（x）的導(dǎo)函數(shù)為f（x）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）記正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且?n∈N⁺，S_n=

1

2

f（a_n），求a_n；
（3）對于數(shù)列{b_n}滿足：b₁=

1

2

，b_n+1=f（b_n），當(dāng)n≥2，n∈N⁺時(shí)，求證：1＜

1

1+b1

+

1

1+b2

+…+

1

1+bn

＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,數(shù)列與不等式的綜合

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)，由在x=1處的切線平行于直線2x-y=0列式求得a的值，則函數(shù)解析式可求；
（2）由S_n=

1

2

f（a_n）得到數(shù)列遞推式，求出首項(xiàng)，取n=n-1得另一遞推式，作差后可判斷數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，則其通項(xiàng)公式可求；
（3）由b_n+1=f（b_n）得b_n+1=b_n（b_n+1），取倒數(shù)后變形，然后利用裂項(xiàng)相消法求

1

1+b1

+

1

1+b2

+…+

1

1+bn

，放縮證得不等式右邊，直接縮小證明不等式左邊．

解答： （1）解：函數(shù)g（x）=

1

3

x³+ax²的導(dǎo)函數(shù)為f（x）=x²+2ax，
由于在x=1處的切線平行于2x-y=0，
∴1+2a=2，解得：a=

1

2

，
即f（x）=x²+x；
（2）解：S_n=

1

2

f（a_n）=

1

2

(an2+an)，
當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=

1

2

(a12+a1)，解得：a₁=1或a₁=0（舍去），
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=

1

2

(an-12+an-1)，
Sn-Sn-1=

1

2

[(an2-an-12)+(an-an-1)]，
即有（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1．
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
則a_n=1+（n-1）=n；
（3）證明：∵b_n+1=b_n（b_n+1），
∴

1

bn+1

=

1

bn(bn+1)

=

1

bn

-

1

bn+1

，
即有

1

bn+1

=

1

bn

-

1

bn+1

．
∴T_n=

1

1+b1

+

1

1+b2

+…+

1

1+bn

=

1

b1

-

1

b2

+

1

b2

-

1

b3

+…+

1

bn

-

1

bn+1

=2-

1

bn+1

＜2．
而當(dāng)n≥2時(shí)，T_n=

1

1+b1

+

1

1+b2

+…+

1

1+bn

≥

1

1+b1

+

1

1+b2

=

2

3

+

4

7

=

26

21

＞1．
∴1＜

1

1+b1

+

1

1+b2

+…+

1

1+bn

＜2．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過去線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了等差關(guān)系的求得，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，訓(xùn)練了利用放縮法證明數(shù)列不等式，屬難題．