Question

已知函數(shù)f（x）=

alnx+1

ex

在x=1處的切線為y=

1

e

．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）設f′（x）為f（x）的導函數(shù)，證明：對任意x＞0，x•f′（x）-1＜

1

e

-

x

ex

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)在x=1時的導數(shù)，由導數(shù)值為0求得a的值；
（Ⅱ）把f（x）的導函數(shù)代入x•f′（x）-1＜

1

e

-

x

ex

，把要證的該不等式轉(zhuǎn)化為1-xlnx＜ex(1+

1

e

)，構(gòu)造函數(shù)g（x）=1-xlnx，利用導數(shù)求其最大值，然后放縮證得不等式成立．

解答： （Ⅰ）解：函數(shù)f（x）=

alnx+1

ex

的定義域為（0，+∞），
f′(x)=

a x •ex-(alnx+1)•ex

(ex)2

=

a-x-axlnx

xex

（x＞0），
∵函數(shù)f（x）=

alnx+1

ex

在x=1處的切線為y=

1

e

，
∴f′(1)=

a-1

e

=0，即a=1；
（Ⅱ）證明：x•f′（x）-1＜

1

e

-

x

ex

可轉(zhuǎn)化為1-xlnx＜ex(1+

1

e

)，
令g（x）=1-xlnx，得g′（x）=-1-lnx，
由g′（x）＞0，得0＜x＜

1

e

，
g′（x）＜0，得x＞

1

e

．
∴g（x）在(0，

1

e

)上位增函數(shù)，在(

1

e

，+∞)上為減函數(shù)，
∴g(x)≤g(

1

e

)=1+

1

e

，
由于x＞0，∴e^x＞1，
∴1-xlnx≤1+

1

e

＜ex(1+

1

e

)．
∴對任意x＞0，x•f'（x）-1＜

1

e

-

x

ex

．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．