Question

3．求證：
（1）sinθ-sinφ=2cos$\frac{θ+φ}{2}$sin$\frac{θ-φ}{2}$；
（2）cosθ+cosφ=2cos$\frac{θ+φ}{2}$cos$\frac{θ-φ}{2}$；
（3）cosθ-cosφ=-2sin$\frac{θ+φ}{2}$sin$\frac{θ-φ}{2}$．

Answer 1

分析 （1）令$\frac{θ+φ}{2}$=α，$\frac{θ-φ}{2}$=β，則θ=α+β，φ=α-β，再由兩角和差的正弦公式，化簡(jiǎn)即可得證；
（2）令$\frac{θ+φ}{2}$=α，$\frac{θ-φ}{2}$=β，則θ=α+β，φ=α-β，再由兩角和差的余弦公式，化簡(jiǎn)即可得證；
（3）令$\frac{θ+φ}{2}$=α，$\frac{θ-φ}{2}$=β，則θ=α+β，φ=α-β，再由兩角和差的余弦公式，化簡(jiǎn)即可得證；

解答 證明：（1）令$\frac{θ+φ}{2}$=α，$\frac{θ-φ}{2}$=β，則θ=α+β，φ=α-β，
即有sinθ-sinφ=sin（α+β）-sin（α-β）
=sinαcosβ+cosαsinβ-sinαcosβ+cosαsinβ
=2cosαsinβ
=2cos$\frac{θ+φ}{2}$sin$\frac{θ-φ}{2}$；
（2）令$\frac{θ+φ}{2}$=α，$\frac{θ-φ}{2}$=β，則θ=α+β，φ=α-β，
即有cosθ+cosφ=cos（α+β）+cos（α-β）
=cosαcosβ-sinαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ
=2cosαcosβ
=2cos$\frac{θ+φ}{2}$cos$\frac{θ-φ}{2}$；
（3）令$\frac{θ+φ}{2}$=α，$\frac{θ-φ}{2}$=β，則θ=α+β，φ=α-β，
即有cosθ-cosφ=cos（α+β）-cos（α-β）
=cosαcosβ-sinαsinβ-cosαcosβ-sinαsinβ
=-2sinαsinβ
=-2sin$\frac{θ+φ}{2}$sin$\frac{θ-φ}{2}$；

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角恒等式的證明，主要考查二倍角公式和兩角和差的余弦公式、正弦函數(shù)公式的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．