Question

已知函數(shù)f（x）=asinxcosx-2cos²x（x∈R）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(

π

4

，0)，其中常數(shù)a∈R．
（1）求a的值及函數(shù)f（x）的最小正周期T；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最值及相應(yīng)的x值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)并結(jié)合f(

π

4

)=0解出a=2，從而化簡(jiǎn)得f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)-1，利用三角函數(shù)的周期公式即可算出最小正周期T；
（2）先由x的范圍算出2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，再利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得到f（x）的最大、最小值及相應(yīng)的x值．

解答：解：（1）f（x）=asinxcosx-2cos²x=

a

2

sin2x-cos2x-1…（1分）
∵函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(

π

4

，0)，
∴f(

π

4

)=0，即

a

2

sin

π

2

-cos

π

2

-1=0，得a=2．                          …（2分）
從而f（x）=sin2x-cos2x-1=

2

sin(2x-

π

4

)-1，…（4分）
所以T=

2π

2

=π．…（6分）
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，…（7分）
∴當(dāng)2x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

8

時(shí)，f(x)max=

2

-1；     …（10分）
當(dāng)2x-

π

4

=-

π

4

，即x=0時(shí)，f（x）_min=-2．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)式滿足的條件，求參數(shù)a值并求函數(shù)的周期與最值，著重考查了三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．