Question

18．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．在極坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)P為曲線C₁：ρ=2cosθ上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q在射線OP上，且滿足|OP|•|OQ|=6，記Q點(diǎn)的軌跡為C₂．
（1）求曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）直線l：θ=$\frac{π}{3}$分別交C₁與C₂交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)P為曲線C₁：ρ=2cosθ上的任意一點(diǎn)，|OP|•|OQ|=6，可得$\frac{6}{ρ}$=2cosθ，即可求曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）直線l：θ=$\frac{π}{3}$分別交C₁與C₂交于A，B兩點(diǎn)，求出A，B的坐標(biāo)，即可求|AB|．

解答 解：（1）設(shè)P（ρ₁，θ），Q（ρ，θ），∴ρ₁=$\frac{6}{ρ}$，
∵點(diǎn)P為曲線C₁：ρ=2cosθ上的任意一點(diǎn)，∴$\frac{6}{ρ}$=2cosθ，∴x=3
∴曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為x=3；
（2）直線l：θ=$\frac{π}{3}$與ρ=2cosθ聯(lián)立可得A（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），與曲線C₂聯(lián)立，可得B（3，3$\sqrt{3}$）
∴|AB|=$\sqrt{（3-\frac{1}{2}）^{2}+（3\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．