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6.如圖已知橢圓C:x24+y2=1,以橢圓的左頂點T為圓心作圓T:(x+2)2+y2=r2(r>0).設圓T與橢圓C交于點M與點N.
(1)求TMTN的最小值;
(2)設點P是橢圓C上異于M,N的任意一點,且直線MP,NP分別與x軸交于點R,S,O為坐標原點,求證:丨OR丨•丨OS丨為定值.

分析 (1)T(-2,0).點M與點N關于x軸對稱,設M(x1,y1),N(x1,-y1),不妨設y1>0.由于點M在橢圓C上,y21=1-x214,可得TMTN=54x1+852-15,由于-2<x1<2,可得TMTN取得最小值.
(2)設P(x0,y0),則直線MP的方程為:y-y0=y0y1x0x1(x-x0),令y=0,得xR=x1y0x0y1y0y1,同理:xS=x1y0+x0y1y0+y1,xR•xS=x21y20x20y21y20y21,又點M與點P在橢圓上,故x20=41y20x21=41y21,代入丨OR丨•丨OS丨=|xR•xS|,化簡即可證明.

解答 (1)解:依題意,得a=2,b=1,c=a22=3,T(-2,0).
點M與點N關于x軸對稱,
設M(x1,y1),N(x1,-y1),不妨設y1>0.
由于點M在橢圓C上,∴y21=1-x214,(*)
TM=(x1+2,y1),TN=(x1+2,-y1),
TMTN=(x1+2)2-y21
=x1+221x214=54x1+852-15
由于-2<x1<2,
故當x1=85時,TMTN取得最小值為-15
(2)證明:設P(x0,y0),
則直線MP的方程為:y-y0=y0y1x0x1(x-x0),
令y=0,得xR=x1y0x0y1y0y1,
同理:xS=x1y0+x0y1y0+y1
故xR•xS=x21y20x20y21y20y21,(**)
又點M與點P在橢圓上,故x20=41y20,x21=41y21,
代入(**)式,得:xR•xS=41y21y2041y20y21y20y21=4y20y21y20y21=4.
∴丨OR丨•丨OS丨=|xR•xS|=4為定值.

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、向量坐標運算性質,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.

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