分析 (1)T(-2,0).點M與點N關于x軸對稱,設M(x1,y1),N(x1,-y1),不妨設y1>0.由于點M在橢圓C上,y21=1-x214,可得→TM•→TN=54(x1+85)2-15,由于-2<x1<2,可得→TM•→TN取得最小值.
(2)設P(x0,y0),則直線MP的方程為:y-y0=y0−y1x0−x1(x-x0),令y=0,得xR=x1y0−x0y1y0−y1,同理:xS=x1y0+x0y1y0+y1,xR•xS=x21y20−x20y21y20−y21,又點M與點P在橢圓上,故x20=4(1−y20),x21=4(1−y21),代入丨OR丨•丨OS丨=|xR•xS|,化簡即可證明.
解答 (1)解:依題意,得a=2,b=1,c=√a2−2=√3,T(-2,0).
點M與點N關于x軸對稱,
設M(x1,y1),N(x1,-y1),不妨設y1>0.
由于點M在橢圓C上,∴y21=1-x214,(*)
→TM=(x1+2,y1),→TN=(x1+2,-y1),
∴→TM•→TN=(x1+2)2-y21
=(x1+2)2−(1−x214)=54(x1+85)2-15,
由于-2<x1<2,
故當x1=−85時,→TM•→TN取得最小值為-15.
(2)證明:設P(x0,y0),
則直線MP的方程為:y-y0=y0−y1x0−x1(x-x0),
令y=0,得xR=x1y0−x0y1y0−y1,
同理:xS=x1y0+x0y1y0+y1,
故xR•xS=x21y20−x20y21y20−y21,(**)
又點M與點P在橢圓上,故x20=4(1−y20),x21=4(1−y21),
代入(**)式,得:xR•xS=4(1−y21)y20−4(1−y20)y21y20−y21=4(y20−y21)y20−y21=4.
∴丨OR丨•丨OS丨=|xR•xS|=4為定值.
點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、向量坐標運算性質,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
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