Question

1．已知函數(shù)f（x）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx（ω＞0），f（$\frac{π}{6}$）+f（$\frac{π}{2}$）=0，且f（x）在區(qū)間（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）上遞減，則ω=2．

Answer 1

分析 利用輔助角公式化積，求出復(fù)合函數(shù)的減區(qū)間，再由f（x）在區(qū)間（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）上遞減列不等式求得ω的范圍，繼而得出$\frac{π}{3}ω+\frac{π}{3}=kπ$，從而可求ω的值．

解答 解：f（x）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$），
由$\frac{π}{2}+2kπ≤ωx+\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z$，取k=0，得：
$\frac{π}{6ω}≤x≤\frac{7π}{6ω}$，由于f（x）在區(qū)間（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞減，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{6ω}≤\frac{π}{6}}\\{\frac{7π}{6ω}≥\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，解得1≤ω≤$\frac{7}{3}$．
∵f（$\frac{π}{6}$）+f（$\frac{π}{2}$）=0，
∴x=$\frac{\frac{π}{6}+\frac{π}{2}}{2}$=$\frac{π}{3}$為f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）的一個中心的橫坐標(biāo)，
∴$\frac{π}{3}ω+\frac{π}{3}=kπ$，則ω=3k-1，k∈Z，
又1≤ω≤$\frac{7}{3}$．
∴ω=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)值的恒等變換應(yīng)用，考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．