Question

9．已知函數(shù)f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax．
（1）當(dāng)a＜0時，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若對任意的a∈（-3，-2），x₁，x₂∈[1，3]恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點，通過兩個極值點的大小，討論函數(shù)的單調(diào)性即可．
（2）由（1）知當(dāng)a∈（-3，-2）時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]單調(diào)遞減；求出x∈[1，3]時，f（x）的最值，問題等價于：對任意的a∈（-3，-2），恒有$（m+ln3）a-2ln3＞1+2a-（2-a）ln3-\frac{1}{3}-6a$成立，推出不等式求解即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{2-a}{x}-\frac{1}{x^2}+2a=\frac{（2x-1）（ax+1）}{x^2}$，
令f'（x）=0，得${x_1}=\frac{1}{2}$，${x_2}=-\frac{1}{a}$，
當(dāng)a=-2時，f'（x）≤0，函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；
當(dāng)-2＜a＜0時，在區(qū)間$（0，\frac{1}{2}）$，$（-\frac{1}{a}，+∞）$上f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
在區(qū)間$（\frac{1}{2}，-\frac{1}{a}）$上f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)a＜-2時，在區(qū)間$（0，-\frac{1}{a}）$，$（\frac{1}{2}，+∞）$上f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
在區(qū)間$（-\frac{1}{a}，\frac{1}{2}）$上f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
（2）由（1）知當(dāng)a∈（-3，-2）時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]單調(diào)遞減；
所以當(dāng)x∈[1，3]時，f（x）_max=f（1）=1+2a，$f{（x）_{min}}=f（3）=（2-a）ln3+\frac{1}{3}+6a$．
問題等價于：對任意的a∈（-3，-2），恒有$（m+ln3）a-2ln3＞1+2a-（2-a）ln3-\frac{1}{3}-6a$成立，
即$am＞\frac{2}{3}-4a$，因為a＜0，所以$m＜{（\frac{2}{3a}-4）_{min}}$，
∴實數(shù)m的取值范圍為$（-∞，-\frac{13}{3}]$．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．