Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$ρcos（{θ-\frac{π}{4}}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，曲線C₃：ρ=2sinθ．
（1）求曲線C₁與曲線C₂交點(diǎn)M的直角坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)A，B分別是曲線曲線C₂，C₃上的動(dòng)點(diǎn)，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）分別求出曲線C₁、曲線C₂的直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程組，能求出曲線C₁與曲線C₂交點(diǎn)M的直角坐標(biāo)．
（2）求出曲線C₃的直角坐標(biāo)方程為：x²+y²-2y=0．得到曲線C₃是以（0，1）為圓心，以r=1為半徑的圓，求出圓心（0，1）到曲線C₂的：x+y+1=0的距離d，由此能求出|AB|的最小值．

解答 解：（1）∵曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
∴曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=1，
∴曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$ρcos（{θ-\frac{π}{4}}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
即ρcosθ+ρsinθ=-1，
∴曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為x+y+1=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{x+y+1=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴曲線C₁與曲線C₂交點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為M（-1，0）或M（0，-1）．
（2）∵曲線C₃：ρ=2sinθ，
∴曲線C₃的直角坐標(biāo)方程為：x²+y²-2y=0．
曲線C₃是以（0，1）為圓心，以r=1為半徑的圓，
圓心（0，1）到曲線C₂的：x+y+1=0的距離d=$\frac{|0+1+1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵點(diǎn)A，B分別是曲線曲線C₂，C₃上的動(dòng)點(diǎn)，
∴|AB|的最小值|AB|_min=$\sqrt{2}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩曲線交點(diǎn)的直角坐標(biāo)的求法，考查弦長(zhǎng)的最小值的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查整體思想、轉(zhuǎn)化化歸思想，考查數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)用意識(shí)，是中檔題．