Question

7．已知函數(shù)f（x）=x-a，g（x）=a|x|，a∈R．
（1）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）．
①若a=$\frac{1}{2}$，求函數(shù)y=F（x）的零點(diǎn)；
②若函數(shù)y=F（x）存在零點(diǎn)，求a的取值范圍．
（2）設(shè)h（x）=f（x）+g（x），x∈[-2，2]，若對(duì)任意x₁，x₂∈[-2，2]，|h（x₁）-h（x₂）|≤6恒成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）．
①若a=$\frac{1}{2}$，由F（x）=0，即可求得F（x）的零點(diǎn)；
②若函數(shù)y=F（x）存在零點(diǎn)，則x-a=a|x|，等號(hào)兩端構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，當(dāng)a＞0時(shí)，在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖象，即可求得滿足題意的a的取值范圍的一部分；同理可得當(dāng)a＜0時(shí)的情況，最后取并即可求得a的取值范圍．
（2）h（x）=f（x）+g（x），x∈[-2，2]，對(duì)任意x₁，x₂∈[-2，2]，|h（x₁）-h（x₂）|≤6恒成立?h（x₁）_max-h（x₂）_min≤6，分a≤-1、-1＜a＜1、a≥1三類討論，即可求得a的取值范圍．

解答 解：（1）F（x）=f（x）-g（x）=x-a-a|x|，
①若a=$\frac{1}{2}$，則由F（x）=x-$\frac{1}{2}$|x|-$\frac{1}{2}$=0得：$\frac{1}{2}$|x|=x-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x≥0時(shí)，解得：x=1；
當(dāng)x＜0時(shí)，解得：x=$\frac{1}{3}$（舍去）；
綜上可知，a=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)y=F（x）的零點(diǎn)為1；
②若函數(shù)y=F（x）存在零點(diǎn)，則x-a=a|x|，
當(dāng)a＞0時(shí)，作圖如下：

由圖可知，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，折線y=a|x|與直線y=x-a有交點(diǎn)，即函數(shù)y=F（x）存在零點(diǎn)；
同理可得，當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，求數(shù)y=F（x）存在零點(diǎn)；
又當(dāng)a=0時(shí)，y=x與y=0有交點(diǎn)（0，0），函數(shù)y=F（x）存在零點(diǎn)；
綜上所述，a的取值范圍為（-1，1）．
（2）∵h(yuǎn)（x）=f（x）+g（x）=x-a+a|x|，x∈[-2，2]，
∴當(dāng)-2≤x＜0時(shí)，h（x）=（1-a）x-a；
當(dāng)0≤x≤2時(shí)，h（x）=（1+a）x-a；
又對(duì)任意x₁，x₂∈[-2，2]，|h（x₁）-h（x₂）|≤6恒成立，
則h（x₁）_max-h（x₂）_min≤6，
①當(dāng)a≤-1時(shí)，1-a＞0，1+a≤0，h（x）=（1-a）x-a在區(qū)間[-2，0）上單調(diào)遞增；
h（x）=（1+a）x-a在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減（當(dāng)a=-1時(shí)，h（x）=-a）；
∴h（x）_max=h（0）=-a，又h（-2）=a-2，h（2）=2+a，
∴h（x₂）_min=h（-2）=a-2，
∴-a-（a-2）=2-2a≤6，解得a≥-2，
綜上，-2≤a≤-1；
②當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，1-a＞0，1-a＞0，∴h（x）=（1-a）x-a在區(qū)間[-2，0）上單調(diào)遞增，
且h（x）=（1+a）x-a在區(qū)間[0，2]上也單調(diào)遞增，
∴h（x）_max=h（2）=2+a，h（x₂）_min=h（-2）=a-2，
由a+2-（a-2）=4≤6恒成立，即-1＜a＜1適合題意；
③當(dāng)a≥1時(shí)，1-a≤0，1+a＞0，h（x）=（1-a）x-a在區(qū)間[-2，0）上單調(diào)遞減
（當(dāng)a=1時(shí)，h（x）=-a），h（x）=（1+a）x-a在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增；
∴h（x）_min=h（0）=-a；
又h（2）=2+a＞a-2=h（-2），
∴h（x）_max=h（2）=2+a，
∴2+a-（-a）=2+2a≤6，解得a≤2，又a≥1，
∴1≤a≤2；
綜上所述，-2≤a≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，突出考查分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想的綜合運(yùn)用，考查推理運(yùn)算能力、邏輯思維能力，屬于難題．