Question

已知點A（2，0），橢圓E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

；F是橢圓E的下焦點，直線AF的斜率為

3

2

，O為坐標原點．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）設過點A的動直線l與E相交于M，N兩點，當△OMN的面積最大時，求l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）由離心率公式和兩點的斜率公式，以及a，b，c的關系，即可求出a，b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由題意可設直線l的方程為：x=my+2，與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數的關系，再利用三角形的面積計算公式即可得出S_△OMN．通過換元再利用基本不等式的性質即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由題意的離心率為

3

2

，即有e=

c

a

=

3

2

，
設F（0，-c），由

c

2

=

3

2

，則c=

3

，a=2，
則b=

a2-c2

=1，
則橢圓方程為

y2

4

+x²=1；
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由題意可設直線l的方程為：x=my+2，
聯(lián)立橢圓4x²+y²=4，
化為（1+4m²）y²+16my+12=0，當△=16（4m²-3）＞0時，即m²＞

3

4

時，
y₁+y₂=-

16m

1+4m2

，y₁y₂=

12

1+4m2

，
則△OMN的面積S=

1

2

•|OA|•|y₂|-

1

2

•|OA|•|y₁|=|y₂-y₁|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( -16m 1+4m2 )2- 48 1+4m2

=

4 4m2-3

1+4m2

，
令

4m2-3

=t（t＞0），則4m²=3+t²，
即有S=

4t

4+t2

=

4

t+ 4 t

≤

4

2 t• 4 t

=1，
當且僅當t=2即有m=±

7

2

時，S取得最大值，且為1，
此時直線l的方程為2x-

7

y-4=0或2x+

7

y-4=0．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、斜率計算公式、橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數的關系、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，考查了換元法和轉化方法，屬于中檔題．