Question

15．已知Ω={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，A是曲線y=x³與$y={x^{\frac{1}{2}}}$圍成的區(qū)域，若向區(qū)域Ω上隨機投一點P，則點P落入?yún)^(qū)域A的概率為$\frac{5}{48}$．

Answer 1

分析 本題利用幾何概型求解．欲求恰好落在陰影范圍內(nèi)的概率，只須求出陰影范圍內(nèi)的面積與正方形的面積比即可．為了求出陰影部分的面積，聯(lián)立由曲線y=x³和曲線y=$\sqrt{x}$兩個解析式求出交點坐標，然后在x∈（0，1）區(qū)間上利用定積分的方法求出圍成的面積即可．

解答 解：聯(lián)立得$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{3}}\\{y={x}^{\frac{1}{2}}}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，
設(shè)曲線與曲線圍成的面積為S，
則S=∫₀¹（$\sqrt{x}$-x³）dx=（$\frac{2}{3}$x${\;}^{\frac{3}{2}}$-$\frac{1}{4}$x⁴）|${\;}_{0}^{1}$═$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{12}$，
而Ω={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，表示的區(qū)域是一個邊長為2的正方形，
∴Ω上隨機投一點P，則點P落入?yún)^(qū)域A（陰影部分）中的概率P=$\frac{{S}_{陰影}}{S}$=$\frac{\frac{5}{12}}{2×2}$=$\frac{5}{48}$，
故答案為：$\frac{5}{48}$．

點評 本題主要考查幾何概型的概率的計算，根據(jù)積分公式求出陰影部分的面積是解決本題的關(guān)鍵．