Question

已知雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1的左右焦點分別為F₁，F₂，P為右支上一動點，點Q（1，4），則|PQ|+|PF₁|的最小值為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：依題意，可求得F₁（-4，0），F₂（4，0），P在雙曲線的右支上，利用雙曲線的定義|PF₁|-|PF₂|=4，可求得|PF₁|=|PF₂|+4，從而可求得|PF₁|+|PQ|的最小值．

解答： 解：∵P在雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1的右支上，
∴|PF₁|-|PF₂|=4，
∴|PF₁|=|PF₂|+4，
又Q（1，4），且在雙曲線的開口之外，
雙曲線右焦點F₂（4，0），
∴|PF₁|+|PQ|
=|PF₂|+4+|PQ|
≥|QF₂|+4
=

(1-4)2+42

+4
=5+4
=9（當且僅當Q、P、F₂三點共線時取“=”）．
則|PQ|+|PF₁|的最小值為9．
故答案為：9．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質，利用雙曲線的定義將|PF₁|轉化為|PF₂|+4是關鍵，考查轉化思想與應用不等式的能力，屬于中檔題．