Question

已知數(shù)列{a_n}中，有a_n+1=a_n+4，且a₁+a₄=14．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式a_n與前n項(xiàng)和公式S_n；
（2）令b_n=

Sn

n+k

，若{b_n}是等差數(shù)列，求數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n+1=a_n+4可知數(shù)列{a_n}是以4為公差的等差數(shù)列，再由a₁+a₄=14求得a₁=1然后直接代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式求解；
（2）由b_n=

Sn

n+k

=

2n2-n

n+k

，且{b_n}是等差數(shù)列列式求得k的值．然后分k=0和k=-

1

2

利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）由a_n+1=a_n+4，得a_n+1-a_n=4，可知數(shù)列{a_n}是以4為公差的等差數(shù)列，
又a₁+a₄=14，得2a₁+3×4=14，解得a₁=1．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+4（n-1）=4n-3．
Sn=

(a1+an)n

2

=

(1+4n-3)n

2

=n(2n-1)；
（2）由b_n=

Sn

n+k

=

2n2-n

n+k

，且{b_n}是等差數(shù)列，得2b₂=b₁+b₃，
即2×

2×22-2

2+k

=

2×12-1

1+k

+

2×32-3

3+k

，解得：k=0或k=-

1

2

．
當(dāng)k=0時(shí)，bn=

2n2-n

n

=2n-1，

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，
∴Tn=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

；
當(dāng)k=-

1

2

時(shí)，bn=

2n2-n

n- 1 2

=2n，

1

bnbn+1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Tn=

1

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

4

(1-

1

n+1

)=

n

4(n+1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列額前n項(xiàng)和，是中檔題．