14.已知拋物線y2=2px(p>0),過點(diǎn)Q(4,0)作動(dòng)直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn),且OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)若對(duì)點(diǎn)P(t,0),恒有∠APQ=∠BPQ,求實(shí)數(shù)t的值及△PAB面積的最小值.

分析 (Ⅰ)若OA⊥OB時(shí),設(shè)直線AB:x=my+n,代入拋物線方程,利用韋達(dá)定理,得出n=2p,結(jié)合直線過點(diǎn)Q(4,0),求出p,即可求拋物線的方程;
(Ⅱ)利用∠APQ=∠BPQ,可得kPA=-kPB,結(jié)合斜率公式求出t,利用S△PAB=$\frac{1}{2}$|y1-y2|×8,求出△PAB面積的最小值.

解答 解:(Ⅰ)若OA⊥OB時(shí),設(shè)直線AB:x=my+n,
代入拋物線方程可得y2-2pmy-2pn=0
∴x1x2+y1y2=$\frac{({y}_{1}{y}_{2})^{2}}{4{p}^{2}}$+y1y2=0,
∴y1y2=-4p2=-2pn,
∴n=2p,
即直線AB:x=my+2p過定點(diǎn)(2p,0).
∴2p=4,∴p=2,
∴拋物線的方程為y2=4x;
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
∵∠APQ=∠BPQ,
∴kPA=-kPB
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-t}$=-$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-t}$
∴x2y1-ty1=-x1y2+ty2,
∴x2y1+x1y2=t(y1+y2),
∴$\frac{1}{4}$y1y2(y1+y2)=t(y1+y2),
∴4t=y1y2
∴4t=-16,
∴t=-4
由(Ⅰ)有y1y2=-16,y1+y2=4m,∴|y1-y2|=$\sqrt{16{m}^{2}+64}$
∴S△PAB=$\frac{1}{2}$|y1-y2|×8=4$\sqrt{16{m}^{2}+64}$
∴m=0時(shí),△PAB面積的最小值為32.

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查三角形面積的計(jì)算,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

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