Question

9．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=CC₁=2，則異面直線AB₁和BC₁所成角的余弦值為（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{3}$
• C． -$\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 以A為原點(diǎn)，在平面ABC中過A作AC的垂直為x軸，以AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AB₁和BC₁所成角的余弦值．

解答 解：∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=CC₁=2，
∴以A為原點(diǎn)，在平面ABC中過A作AC的垂直為x軸，
以AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B₁（$\sqrt{3}$，1，2），B（$\sqrt{3}$，1，0），C₁（0，2，2），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}，1，2$），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，1，2），
設(shè)異面直線AB₁和BC₁所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{2}{\sqrt{8}•\sqrt{8}}$=$\frac{1}{4}$．
∴異面直線AB₁和BC₁所成角的余弦值為$\frac{1}{4}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．