Question

設數(shù)列的前n項和為，且滿足＝2－，＝1，2，3，…．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若數(shù)列滿足＝1，且＝＋，求數(shù)列的通項公式；
（3）設，求數(shù)列的前項和為．

Answer 1

（1）＝( n∈)（2）＝ (＝1，2，3，…)
（3）8－

解析試題分析：（1）因為＝1時，＋＝＋＝2，所以＝1．
因為＝2－，即＋＝2，所以＋＝2．
兩式相減：－＋－＝0，即－＋＝0，故有＝．
因為≠0，所以＝( n∈)．
所以數(shù)列是首項＝1，公比為的等比數(shù)列，
所以＝( ∈)．                                           ……5分
（2）因為＝＋( n＝1，2，3，…)，所以－＝．從而有
＝1，＝，＝，…，＝( ＝2，3，…)．
將這－1個等式相加，得
－＝1＋＋＋…＋＝＝2－．(＝2，3，…)．
又因為＝1，所以＝3－( ＝2，3，…)．
經(jīng)檢驗，對=1也成立，
故＝3－ = (＝1，2，3，…)．                       ……10分
（3）因為＝，
所以＝．  ①