1.已知f(x)=$\sqrt{3}$cos2x+2sin($\frac{3π}{2}$+x)sin(π-x),x∈R
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間
(2)已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且f(A)=-$\sqrt{3}$,a=3,求△ABC面積的最大值.

分析 (1)利用誘導(dǎo)公式倍角公式與和差公式可得:f(x)=-2sin$(2x-\frac{π}{3})$,再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
(2)f(A)=-$\sqrt{3}$,可得sin$(2A-\frac{π}{3})$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$0<A<\frac{π}{2}$,解得A=$\frac{π}{3}$.再利用余弦定理與基本不等式的性質(zhì)即可得出.

解答 解:(1)f(x)=$\sqrt{3}$cos2x+2sin($\frac{3π}{2}$+x)sin(π-x)
=$\sqrt{3}$cos2x-2cosxsinx=$\sqrt{3}$cos2x-sin2x=-2sin$(2x-\frac{π}{3})$,
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ,解得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤$\frac{11π}{12}$+kπ,
因此函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為:[kπ+$\frac{5π}{12}$,$\frac{11π}{12}$+kπ],k∈Z.
(2)f(A)=-$\sqrt{3}$,可得sin$(2A-\frac{π}{3})$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,∵$0<A<\frac{π}{2}$,∴$(2A-\frac{π}{3})$∈$(-\frac{π}{3},\frac{2π}{3})$,∴$2A-\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$.
解得A=$\frac{π}{3}$.
由余弦定理可得:${3}^{2}=^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{3}$≥2bc-bc=bc,可得bc≤9,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時取等號.
∴S△ABC=$\frac{1}{2}bc$sinA≤$\frac{9\sqrt{3}}{4}$.
∴當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=3時,△ABC面積取得最大值$\frac{9\sqrt{3}}{4}$.

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、誘導(dǎo)公式倍角公式與和差公式、余弦定理、三角形面積計算公式、基本不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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