Question

15．已知函數(shù)$f（x）=sin（x+\frac{π}{6}）+sin（x-\frac{π}{6}）+cosx+a$的最小值為1．
（1）求常數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和對(duì)稱軸方程．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式．結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最小值，可求常數(shù)a的值．
（2）將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得對(duì)稱軸方程．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=sin（x+\frac{π}{6}）+sin（x-\frac{π}{6}）+cosx+a$
化簡(jiǎn)可得：f（x）=sinxcos$\frac{π}{6}$+cosxsin$\frac{π}{6}$+sinxcos$\frac{π}{6}$-cosxsin$\frac{π}{6}$+cosx+a
=$\sqrt{3}$sinx+cosx+a
=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+a．
∵f（x）的最小值為1．即-2+a=1
∴解得：a=3
（2）由（1）可得f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+3．
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$x+$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$是單調(diào)遞增，
解得：$-\frac{2π}{3}+2kπ≤x≤\frac{π}{3}+2kπ$，
∴單調(diào)增區(qū)間$[{-\frac{2}{3}π+2kπ，\frac{π}{3}+2kπ}]，k∈Z$；
令$-\frac{3π}{2}$+2kπ≤x+$\frac{π}{6}$$≤-\frac{π}{2}+2kπ$是單調(diào)遞減，
解得：$-\frac{5π}{3}+2kπ≤x≤-\frac{2π}{3}+2kπ$
∴單調(diào)減區(qū)間$[{-\frac{5}{3}π+2kπ，-\frac{2}{3}π+2kπ}]，k∈Z$；
令x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$
解得：$x=\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$
∴對(duì)稱軸方程是$x=\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．