Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+ln2，在[0，1]上為增函數(shù)，且對于任意的x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂都滿足|f（x₁）-f（x₂）|＜3|x₁-x₂|，則實數(shù)a的取值范圍是

 

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Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由函數(shù)f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，通過求導(dǎo)得到a≥-2x在[0，1]恒成立，求出a的范圍，設(shè)x₁＜x₂，得：f（x₂）-3x₂＜f（x₁）-3x₁，通過構(gòu)建新函數(shù)g（x），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從而綜合得到a的范圍．

解答： 解：函數(shù)f（x）=x²+ax+ln2，在[0，1]上為增函數(shù)，
∴f′（x）=2x+a≥0在[0，1]恒成立，
∴a≥-2x在[0，1]恒成立，
∴a≥0；
對于任意的x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂不妨設(shè)x₁＜x₂，
由|f（x₁）-f（x₂）|＜3|x₁-x₂|，
得：f（x₂）-3x₂＜f（x₁）-3x₁，
令g（x）=f（x）-3x，
只需g（x）在[0，1]上得到遞增即可，
∴只需g′（x）=2x+a-3≥0在[0，1]恒成立，
∴只需a≥3-2x在[0，1]恒成立，
∴只需a≥3即可，
綜上，a≥3，
故答案為：a≥3．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查了轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．