Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（1+2^x+4^xa），其中 a∈R．
（1）a=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）定義域；
（2）當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)，函數(shù)f（x）有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）a=-1，函數(shù)y=f（x）-x-b（-1≤x≤0）有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，以及復(fù)合函數(shù)，利用換元法，求出定義域，
（2）函數(shù)有意義，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值即可，
（3）函數(shù)y=f（x）-x-b（-1≤x≤0）有零點(diǎn)，即f（x）與直線y=x+b在[-1，0]上有交點(diǎn)，求出f（x）的值域即可

解答： 解：（1）當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=log₂（1+2^x-2×4^x）
∴1+2^x-2×4^x＞0，
令2^x=t，t＞0，
∴2t²-t-1＜0，
解得0＜t＜1，
∴2^x＜1=2⁰，
∴x＜0，
故函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，0）；
（2）∵1+2^x+4^xa＞0，在x∈（-∞，1]恒成立，
∴a＞-

1

2x

-

1

(2x)2

在x∈（-∞，1]恒成立，
設(shè)2^-x=t，則t≥

1

2

，
∴a＞-t-t²，在t∈[

1

2

，∞）恒成立，
設(shè)g（t）=-t-t²=-（t+

1

2

）²+

1

4

，
∴函數(shù)g（t）在[

1

2

，∞）單調(diào)遞減，
∴g（t）≤g（

1

2

）=-

3

4

，
∴a≥-

3

4

，
故a的取值范圍為[-

3

4

，+∞），
（3）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=f（x）=log₂（1+2^x-4^x），
∵當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)y在[-1，0]上有零點(diǎn)，
∴f（x）與直線y=x+b在[-1，0]上有交點(diǎn)，
令h（t）=log₂（-t²+t+1），t∈[

1

2

，1]，
∴f（x）在[-1，0]上的值域?yàn)閇1，

5

4

]，
∴直線y=x+b在[-1，0]上的值域[1，

5

4

]，
∴實(shí)數(shù)b的取值范圍為[1，

5

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)，以及函數(shù)恒成立的問題，以及函數(shù)的零點(diǎn)問題，屬于中檔題