Question

【題目】定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）=x2+ax（a為常數(shù)），g（x）= x3﹣bx+m（b為常數(shù)），若函數(shù)f（x）在x=1處的切線斜率為3，x= 是g（x）的一個(gè)極值點(diǎn)
（1）求a，b的值；
（2）若存在x∈[﹣4，4]使得f（x）≥g（x）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=x2+ax，f′（x）=2x+a，

若函數(shù)f（x）在x=1處的切線斜率為3，

則f′（1）=2+a=3，解得：a=1，

g（x）= x3﹣bx+m，g′（x）=x2﹣b，

若x= 是g（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，

則g′（ ）=2﹣b=0，解得：b=2

（2）解：由（1）得：f（x）=x2+x，g（x）= x3﹣2x+m，

令h（x）=g（x）﹣f（x）= x3﹣2x+m﹣x2﹣x= x3﹣3x+m﹣x2

∴h′（x）=x2﹣2x﹣3，

當(dāng)﹣4＜x＜﹣1時(shí)，h′（x）＞0，

當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，h′（x）＜0，

當(dāng)3＜x＜4時(shí)，h′（x）＞0，

要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，

由上知h（x）的最大值在x=﹣1或x=4取得，

而h（﹣1）=m+ ，h（4）=m﹣ ，

∵m+ ＞m﹣ ，

∴m+ ≤0，

即m≤﹣

【解析】（1）分別求出f（x），g（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（1）=0，g′（ ）=0，分別求出a，b的值即可；（2）令h（x）=g（x）﹣f（x），要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．