Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-|x+1|+2a（a是常數(shù)且a∈R）
（1）若函數(shù)f（x）的一個零點是1，求a的值；
（2）求f（x）在[1，2]上的最小值g（a）；
（3）記A={x∈R|f（x）＜0}若A=φ，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的一個零點是1，得到f（1）=0，即可求a的值；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求f（x）在[1，2]上的最小值g（a）；
（3）根據(jù)不等式的解法，即可求a的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）的一個零點是1，
∴f(1)=a-2+2a=0∴a=

2

3

．
（2）f（x）=ax²-x+2a-1，x∈[1，2]，
①當(dāng)a=0時g（a）=f（2）=-3．
②當(dāng) a＜0時，對稱軸為x=

1

2a

＜0g（a）=f（2）=6a-3．
③當(dāng)a＞0時，拋物線開口向下，對稱軸x=

1

2a

，
若x=

1

2a

＜1，即a＞

1

2

時，g（a）=f（1）=3a-2．
若1≤

1

2a

≤2，即

1

4

≤a≤

1

2

時，g（a）=f（

1

2a

）=2a-1-

1

4a

，
若

1

2a

＞2，即0＜a＜

1

4

時，g（a）=f（2）=6a-3．
綜上：g（a）=

6a-3，a＜ 1 4 2a-1- 1 4a ， 1 4 ≤a≤ 1 2 3a-2．a(chǎn)＞ 1 2

，
（3）由題意知：不等式f（x）＜0無解
即 ax²-|x+1|+2a≥0恒成立，
即a≥

|x+1|

x2+2

對任意x∈R恒成立，
令t=x+1，
則a≥

|t|

t2-2t+3

=g(t)對任意t∈R恒成立，
①當(dāng)t=0時g（0）=0，
②當(dāng)t＞0時g(t)max=g(

3

)=

3 +1

4

，
③當(dāng)t＜0時g(t)min=g(-

3

)=

3 -1

4

，
∴a≥g（t）_max，
即a≥

3 +1

4

．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及函數(shù)零點的應(yīng)用，對應(yīng)含有參數(shù)的問題要對參數(shù)進行分類討論．