Question

9．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC，b=2
（Ⅰ）求角B的大小
（Ⅱ）求AB+BC的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用正弦定理將邊化角整理?xiàng)l件式子，得出cosB；
（II）使用正弦定理將AB，BC表示為A的函數(shù)，根據(jù)A的范圍求出AB+BC的范圍．

解答 解：（I）在△ABC中，∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sinA，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$．
（II）由正弦定理得：$\frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴AB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}sinC$，BC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}sinA$．
∴AB+BC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinA+sinC）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$[sinA+sin（$\frac{2π}{3}-A$）]=2$\sqrt{3}$sinA+2cosA=4sin（A+$\frac{π}{6}$）．
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$．
∴2＜4sin（A+$\frac{π}{6}$）≤4．
即AB+BC的取值范圍是（2，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理，三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．