Question

求下列函數(shù)的值域：

（1）y=4-

3+2x-x2

          （2）y=

1-x

2x+5

          （3）y=x-

1-2x

          （4）y=

1+2x

1-2x

（5）y=

3x

x2+4

      （6）y=2^x+2-3•4^x，（-1≤x≤0）（7）y=（log₂

x

4

）•（log 

2

（2x）），（x≥1）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）直接利用換元法求出函數(shù)的值域．
（2）利用反函數(shù)法求出結(jié)果．
（3）利用換元法和二次函數(shù)法求出結(jié)果．
（4）利用反函數(shù)法和指數(shù)函數(shù)的值域求出結(jié)果．
（5）利用基本不等式和恒等變換法求出結(jié)果．
（6）利用整體換元法和二次函數(shù)法求出結(jié)果．
（7）利用整體換元法和二次函數(shù)法求出結(jié)果．

解答： 解：（1）y=4-

3+2x-x2

=4-

-(x-1)2+4

由于

3+2x-x2

≥0
所以：函數(shù)y_max=4
當(dāng)x=1時，-（x-1）²+4的最大值為4
所以

3+2x-x2

max=2
則函數(shù)y_min=2
所以函數(shù)的值域?yàn)椋簓∈[2，4]
（2）y=

1-x

2x+5

轉(zhuǎn)化為：x=

1-5y

2y+1

由于2y+1≠0
所以：y≠-

1

2

所以函數(shù)的值域?yàn)椋簕y|y≠-

1

2

}
（3）y=x-

1-2x

   
設(shè)

1-2x

=t(t≥0)
所以y=-

t2

2

-t+

1

2

=-

1

2

(t+1)2+1
函數(shù)為對稱軸t=-1的拋物線
由于t≥0
所以函數(shù)在t≥0為單調(diào)遞減函數(shù)．
當(dāng)t=0是函數(shù)的最大值為：ymax=

1

2

所以：函數(shù)的值域?yàn)椋簕y|y≤

1

2

}
（4）y=

1+2x

1-2x

轉(zhuǎn)化為：2x=

y-1

y+1

由于2^x＞0
所以：

y-1

y+1

＞0
解分式不等式得：y＞1或y＜-1
所以函數(shù)的值域?yàn)椋簕y|y＞1或y＜-1}
（5）y=

3x

x2+4

轉(zhuǎn)化為：y=

3

x+ 4 x

由于x+

4

x

在①x＞0時，(x+

4

x

)min=4
所以：函數(shù)的最大值為：ymax=

3

4

②當(dāng)x＜0時，(x+

4

x

)max=-4
所以：函數(shù)的最小值為：ymin=-

3

4

所以函數(shù)的值域?yàn)椋簕y|-

3

4

≤y≤

3

4

}
（6）y=2^x+2-3•4^x，轉(zhuǎn)化為：y=4•2^x-3（2^x）²
設(shè)2^x=t（-1≤x≤0）
所以：

1

2

≤t≤1
則：原函數(shù)轉(zhuǎn)化成y=-3t²+4t=-3（t-

2

3

）²+

4

3

當(dāng)x=

2

3

時，ymax=

4

3

當(dāng)x=1時，y_min=1
故函數(shù)的值域?yàn)椋簕y|1≤y≤

4

3

}
（7）y=（log₂

x

4

）•（log 

2

（2x）），（x≥1）
關(guān)系式轉(zhuǎn)化為：y=(log2x-2)(2-log

2

x)=-2(log2x)2+6log₂x-4
=-2(log2x-

3

2

)2+

1

2

設(shè)：log₂x=t，由于x≥1，所以log₂x=t≥0
則關(guān)系式轉(zhuǎn)化為：y=-2(t-

3

2

)2+

1

2

則函數(shù)為以t=

3

2

為對稱軸開口方向向下的拋物線．
當(dāng)t=

3

2

時，函數(shù)的最大值為：ymax=

1

2

所以函數(shù)的值域?yàn)椋簕y|y≥

1

2

}

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：本題重點(diǎn)考查求函數(shù)治愈的基本方法，換元法，二次函數(shù)轉(zhuǎn)化法，反函數(shù)法，利用復(fù)合函數(shù)的轉(zhuǎn)化法，屬于基礎(chǔ)題型