Question

13．已知n∈N^*，n＞2時(shí)，求證：1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＞$\sqrt{n+1}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明．首先驗(yàn)證n=3時(shí)，不等式成立；假設(shè)n=k，不等式成立，證明n=k+1，不等式也成立，注意運(yùn)用分析法證明，即可得證．

解答 證明：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明．
當(dāng)n=3時(shí)，不等式左邊=1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$＞2，右邊=2，顯然成立；
假設(shè)k∈N^*，k＞2時(shí)，n=k時(shí)，1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$＞$\sqrt{k+1}$成立，
當(dāng)n=k+1時(shí)，1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$＞$\sqrt{k+1}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$，
要證$\sqrt{k+1}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$＞$\sqrt{k+2}$，
即證k+2＞$\sqrt{（k+1）（k+2）}$，
平方可得k²+4k+4＞k²+3k+2，
即為k+2＞0顯然成立．
即n=k+1時(shí)，不等式也成立．
綜上可得，n∈N^*，n＞2時(shí)，1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＞$\sqrt{n+1}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，考查運(yùn)算和推理能力，屬于中檔題．