Question

2．定義在R上的偶函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），對定義域內(nèi)的任意x，都有2f（x）+xf'（x）＜2成立，則使得x²f（x）-4f（2）＜x²-4成立的x的范圍為（　�。�

• A． {x|x≠±2}
• B． （-2，2）
• C． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• D． （-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

分析 根據(jù)已知構(gòu)造合適的函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的取值范圍，并根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)的對稱性，進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)x＞0時(shí)，由2f（x）+xf'（x）＜2得2f（x）+xf′（x）-2＜0可知：兩邊同乘以x得：
2xf（x）-x²f′（x）-2x＜0
設(shè)g（x）=x²f（x）-x²
則g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）-2x＜0，恒成立：
∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
由x²f（x）-4f（2）＜x²-4
∴x²f（x）-x²＜4f（2）-4
即g（x）＜g（2），
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴g（x）=x²f（x）-x²也是偶函數(shù)，
則不等式g（x）＜g（2）等價(jià)為g（|x|）＜g（2），
即|x|＞2；
則x＞2或x＜-2，即實(shí)數(shù)x的取值范圍為（-∞，-2）∪（2，+∞），
故選：C

點(diǎn)評 本題主要考查不等式的求解，主要根據(jù)已知構(gòu)造合適的函數(shù)，函數(shù)求導(dǎo)，并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，偶函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．