Question

1．△ABC中，已知$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow$，且4|$\overrightarrow{a}$|=3|$\overrightarrow$|=12，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，E為∠C平分線CD的中點，點D為AB上的點，AE交BC于F，那么$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{CD}$=$-\frac{108}{35}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件可以得出CA⊥CB，且CA=3，CB=4，這樣便可分別以CB，CA為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，從而可以得出A，B，C三點的坐標，這樣可求出直線AB的方程，而可得到直線CD的方程為y=x，這樣便可求出直線AB和CD的交點D的坐標，進而便可得出點E的坐標，從而可得出直線AE的方程，進而便可得出直線AE和x軸的交點F的坐標，從而便可得出向量$\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{CD}$的坐標，進行向量數(shù)量積的坐標運算便可求出$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{CD}$的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$；
∴$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$；
即CA⊥CB，且由$4|\overrightarrow{a}|=3|\overrightarrow|=12$得，$|\overrightarrow{a}|=3，|\overrightarrow|=4$；
即CA=3，CB=4；
如圖，分別以CB，CA為x，y軸，建立平面直角坐標系，則：
C（0，0），A（0，3），B（4，0）；
∴直線AB的方程為：$y=-\frac{3}{4}（x-4）$；
∵CD為∠ACB的平分線；
∴直線CD的方程為：y=x，帶入直線AB方程得，$x=\frac{12}{7}$；
∴$D（\frac{12}{7}，\frac{12}{7}）$；
E為CD中點，∴$E（\frac{6}{7}，\frac{6}{7}）$；
∴直線AE的方程為：$y=-\frac{5}{2}x+3$，令y=0得，x=$\frac{6}{5}$；
∴$F（\frac{6}{5}，0）$；
∴$\overrightarrow{AF}=（\frac{6}{5}，-3），\overrightarrow{CD}=（\frac{12}{7}，\frac{12}{7}）$；
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{CD}=\frac{72}{35}-\frac{36}{7}=-\frac{108}{35}$．
故答案為：$-\frac{108}{35}$．

點評 考查向量垂直的充要條件，通過建立平面直角坐標系，利用向量的坐標解決向量問題的方法，能求平面上點的坐標，根據(jù)兩點坐標可求過這兩點的直線方程，由兩點坐標求直線的斜率，直線的點斜式方程，直線交點坐標的求法，根據(jù)點的坐標求向量的坐標，以及向量數(shù)量積的坐標運算．