Question

【題目】冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征和嚴重急性呼吸綜合征等較嚴重疾病. 而今年出現(xiàn)的新型冠狀病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株. 人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等. 在較嚴重病例中感染可導致肺獎、嚴重急性呼吸綜合征、賢衰竭，甚至死亡.核酸檢測是診斷新冠肺炎的重要依據(jù)，首先取病人的唾液或咽拭子的樣本，再提取唾液或咽拭子樣本里的遺傳物質(zhì)，如果有病毒，樣本檢測會呈現(xiàn)陽性，否則為陰性. 根據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，疑似病例核酸檢測呈陽性的概率為，現(xiàn)有例疑似病例，分別對其取樣、檢測，多個樣本檢測時，既可以逐個化驗，也可以將若干個樣本混合在一起化驗，混合樣本中只要有病毒，則混合樣本化驗結(jié)果就會呈陽性，若混合樣本呈陽性，則將該組中各個樣本再逐個化驗；若混合樣本呈陰性，則該組各個樣本均為陰性.現(xiàn)有以下三種方案:

方案一：逐個化驗；

方案二：四個樣本混在一起化驗；

方案三: 平均分成兩組化驗.

在新冠肺炎爆發(fā)初期，由于檢查能力不足，化檢次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.

（1）若，求個疑似病例樣本混合化驗結(jié)果為陽性的概率；

（2）若，現(xiàn)將該例疑似病例樣本進行化驗，請問：方案一、二、 三中哪個最“優(yōu)”?

（3）若對例疑似病例樣本進行化驗，且“方案二”比“方案一”更“優(yōu)”，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）方案二最“優(yōu)”，理由見解析；（3）.

【解析】

（1）可求得個疑似病例均為陰性的概率，再利用對立事件的概率公式可求得事件“個疑似病例樣本混合化驗結(jié)果為陽性”的概率；

（2）分別計算出方案一、二、三中將該例疑似病例樣本進行化驗所需次數(shù)的數(shù)學期望，比較三種方案中檢測次數(shù)的期望值大小，可得出最“優(yōu)”方案；

（3）求出方案二的數(shù)學期望，可得出關(guān)于的不等式，進而可求得實數(shù)的取值范圍.

（1）由題意可知，個疑似病例均為陰性的概率為，

因此，該混合樣本呈陽性的概率為；

（2）方案一：逐個檢驗，檢驗次數(shù)為；

方案二：混合在一起檢測，記檢測次數(shù)為，則隨機變量的可能取值為、，

，，

所以，隨機變量的分布列如下表所示：

所以，方案二的期望為；

方案三：由（1）知，每組兩個樣本檢測時，若呈陰性則檢測次數(shù)為，概率為；若呈陽性則檢測次數(shù)為，概率為.

設(shè)方案三的檢測次數(shù)為隨機變量，則的可能取值為、、，

，，.

所以，隨機變量的分布列如下表所示：

所以，方案三的期望為.

比較可得，故選擇方案二最“優(yōu)”；

（3）方案二：記檢測次數(shù)為，則隨機變量的可能取值為、，

，，

隨機變量的分布列如下表所示：

所以，隨機變量的數(shù)學期望為，

由于“方案二”比“方案一”更“優(yōu)”，則，

可得，即，解得，

故當時，方案二比方案一更“優(yōu)”.