【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.
(1)設(shè)射線l的極坐標(biāo)方程為,若射線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),求AB的長(zhǎng);
(2)設(shè)M,N是曲線C上的兩點(diǎn),若∠MON,求的面積的最大值.
【答案】(1);(2)1
【解析】
(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系,把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換;
(2)設(shè)M,N,求出范圍,再利用,通過(guò)三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換及正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.
解:(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為,其為過(guò)原點(diǎn)的圓
整理得,其為過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的圓,
根據(jù)轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為,
整理得,
射線l的極坐標(biāo)方程為與曲線C相交于A和B兩點(diǎn),
由于射線l:過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),故其中有一個(gè)交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),
所以,
得;
(2)設(shè)M,N,
由于直線OC的斜率為,
又圓C過(guò)原點(diǎn),故過(guò)原點(diǎn)與圓C相切的切線的斜率為k,
從而,得,
則,
當(dāng),即時(shí),的最大值為1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著共享單車的成功運(yùn)營(yíng),更多的共享產(chǎn)品逐步走人大家的世界,共享汽車、共享籃球、共享充電寶等各種共享產(chǎn)品層出不窮廣元某景點(diǎn)設(shè)有共享電動(dòng)車租車點(diǎn),共享電動(dòng)車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每小時(shí)2元不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算甲、乙兩人各租一輛電動(dòng)車,若甲、乙不超過(guò)一小時(shí)還車的概率分別為;一小時(shí)以上且不超過(guò)兩小時(shí)還車的概率分別為;兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過(guò)三小時(shí).
Ⅰ求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率;
Ⅱ設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù)的圖象為曲線,曲線在點(diǎn)的切線為(其中).
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)證明:(i);
(ii).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某數(shù)學(xué)教師在甲、乙兩個(gè)平行班采用“傳統(tǒng)教學(xué)”和“高效課堂”兩種不同的教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn).為了解教改實(shí)效,期中考試后,分別從兩個(gè)班中各隨機(jī)抽取名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到如下的莖葉圖:
(Ⅰ)求甲、乙兩班抽取的分?jǐn)?shù)的中位數(shù),并估計(jì)甲、乙兩班數(shù)學(xué)的平均水平和分散程度(不要求計(jì)算出具體值,給出結(jié)論即可);
(Ⅱ)若規(guī)定分?jǐn)?shù)在的為良好,現(xiàn)已從甲、乙兩班成績(jī)?yōu)榱己玫耐瑢W(xué)中,用分層抽樣法抽出位同學(xué)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,求這位同學(xué)中恰含甲、乙兩班所有分以上的同學(xué)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了計(jì)算幾何體體積的祖暅原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異“.意思是兩個(gè)同高的幾何體,如果在等高處的截面積都相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.現(xiàn)有某幾何體和一個(gè)圓錐滿足祖暅原理的條件,若該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為3的圓的三分之一,則該幾何體的體積為( )
A.πB.πC.4D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足,.記,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:當(dāng)時(shí).
(Ⅰ);
(Ⅱ);
(Ⅲ).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)、為曲線上位于第一,二象限的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且,射線,交曲線分別于點(diǎn),.求面積的最小值,并求此時(shí)四邊形的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族,已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征和嚴(yán)重急性呼吸綜合征等較嚴(yán)重疾病. 而今年出現(xiàn)的新型冠狀病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株. 人感染了新型冠狀病毒后常見(jiàn)體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等. 在較嚴(yán)重病例中感染可導(dǎo)致肺獎(jiǎng)、嚴(yán)重急性呼吸綜合征、賢衰竭,甚至死亡.核酸檢測(cè)是診斷新冠肺炎的重要依據(jù),首先取病人的唾液或咽拭子的樣本,再提取唾液或咽拭子樣本里的遺傳物質(zhì),如果有病毒,樣本檢測(cè)會(huì)呈現(xiàn)陽(yáng)性,否則為陰性. 根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),疑似病例核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率為,現(xiàn)有例疑似病例,分別對(duì)其取樣、檢測(cè),多個(gè)樣本檢測(cè)時(shí),既可以逐個(gè)化驗(yàn),也可以將若干個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn),混合樣本中只要有病毒,則混合樣本化驗(yàn)結(jié)果就會(huì)呈陽(yáng)性,若混合樣本呈陽(yáng)性,則將該組中各個(gè)樣本再逐個(gè)化驗(yàn);若混合樣本呈陰性,則該組各個(gè)樣本均為陰性.現(xiàn)有以下三種方案:
方案一:逐個(gè)化驗(yàn);
方案二:四個(gè)樣本混在一起化驗(yàn);
方案三: 平均分成兩組化驗(yàn).
在新冠肺炎爆發(fā)初期,由于檢查能力不足,化檢次數(shù)的期望值越小,則方案越“優(yōu)”.
(1)若,求個(gè)疑似病例樣本混合化驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性的概率;
(2)若,現(xiàn)將該例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn),請(qǐng)問(wèn):方案一、二、 三中哪個(gè)最“優(yōu)”?
(3)若對(duì)例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn),且“方案二”比“方案一”更“優(yōu)”,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在中,分別是邊上的中點(diǎn),將沿折起到的位置,使如圖2.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.
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