Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n＞0，a₂=2，它的前n項(xiàng)和S_n=

n(1+an)

2

．
（1）求S₁、S₂、S₃，并猜想S_n的表達(dá)式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用條件，代入計(jì)算，可得S₁、S₂、S₃；猜想S_n的表達(dá)式；
（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明步驟進(jìn)行證明．

解答： 解：（1）∵S_n=

n(1+an)

2

，∴S₁=

1+a1

2

，∴a₁=1，∴S₁=1，
∵a₂=2，∴S₂=3，
同理S₃=6，猜想S_n=

n(1+n)

2

；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①n=1，2時(shí)，結(jié)論成立；
②假設(shè)n=k（k＞2）時(shí)，結(jié)論成立，即S_k=

k(1+k)

2

，
則n=k+1時(shí)，S_k+1=S_k+a_k+1=

k(1+k)

2

+a_k+1，
∴

k(1+k)

2

+a_k+1=

(k+1)(1+ak+1)

2

，
∴（k-1）a_k+1=（k-1）（k+1），
∵k＞2，∴a_k+1=k+1，
∴S_k+1=

(k+1)(k+2)

2

，即n=k+1時(shí)，結(jié)論成立．
由①②可知S_n=

n(1+n)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．