Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點為F₁，F(xiàn)₂，M是橢圓上任意一點，若以坐標原點為圓心，橢圓短軸長為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的焦點，且MF₁F₂的周長為4+2

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l是圓O：x²+y²=

4

3

上動點P（x₀，y₀）（x₀•y₀≠0）處的切線，l與橢圓C交與不同的兩點Q，R，證明：∠QOR=

π

2

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由題意可得：

b=c 2a+2c=4+2 2 a2=b2+c2

，解得即可；
（II）設Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂）．設直線l的方程為y-y₀=k（x-x₀）．由于直線與圓O：x²+y²=

4

3

相切，可得

|y0-kx0|

1+k2

=

4 3

．化為(y0-kx0)2=

4

3

(1+k2)．直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得（1+2k²）x²+4k（y₀-kx₀）x+2(y0-kx0)2-4=0，利用根與系數(shù)的關系可得y₁y₂．只要證明

OQ

•

OR

=0即可．

解答： 解：（I）由題意可得：

b=c 2a+2c=4+2 2 a2=b2+c2

，解得a=2，b=c=

2

．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（II）證明：設Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂）．
設直線l的方程為y-y₀=k（x-x₀），
化為kx-y+y₀-kx₀=0，
∵直線與圓O：x²+y²=

4

3

相切，
∴

|y0-kx0|

1+k2

=

4 3

．化為(y0-kx0)2=

4

3

(1+k2)．
聯(lián)立

y-y0=k(x-x0) x2+2y2=4

，化為（1+2k²）x²+4k（y₀-kx₀）x+2(y0-kx0)2-4=0，
∴x₁+x₂=-

4k(y0-kx0)

1+2k2

，x₁x₂=

2(y0-kx0)2-4

1+2k2

．
∴y₁y₂=（kx₁+y₀-kx₀）（kx₂+y₀-kx₀）=k²x₁x₂+k（y₀-kx₀）（x₁+x₂）+(y0-kx0)2．
∴

OQ

•

OR

=x₁x₂+y₁y₂=(1+k2)×

2(y0-kx0)2-4

1+2k2

+

-4k2(y0-kx0)2

1+2k2

+(y0-kx0)2
=

(y0-kx0)2(2+2k2-4k2+1+2k2)-4(1+k2)

1+2k2

，
其分子=

4

3

(1+k2)×3-4（1+k²）=0，
∴

OQ

⊥

OR

．
∴∠QOR=

π

2

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交轉化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、向量垂直與數(shù)量積的關系、直線與圓相切問題，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．