Question

設(shè)函數(shù)f（x）=mx³-3x+n，m，n∈R
（Ⅰ）已知f（x）在區(qū)間（m，+∞）上遞增，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）存在實數(shù)m，使得當(dāng)x∈[0，n-2]時，2≤f（x）≤6恒成立，求n的最大值及此時m的值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求f′（x），討論m找函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，并且讓f（x）在（m，+∞）上遞增，從而求出m的取值范圍．
（Ⅱ）所給區(qū)間里含有n，所以由已知條件得出m的范圍，需不等式兩邊同除以x³，所以分x=0，和x≠0兩種情況：x=0時，得到n的一個取值范圍：2≤n≤6；x≠0時，得到

2+3x-n

x3

≤m≤

6+3x-n

x3

，這時候令h（x）=

2+3x-n

x3

，g（x）=

6+3x-n

x3

，然后分別求h（x）的最大值，g（x）的最小值即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3mx²-3；
m≤0時，f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，不符合已知條件；
m＞0時，在（-∞，-

1

m

）和（

1

m

，+∞）上f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在這兩個區(qū)間上單調(diào)遞增；
∴

1

m

≤m，解得：m≥1．
∴實數(shù)m的取值范圍為[1，+∞）．
（Ⅱ）x=0時，2≤n≤6；
x≠0時，

2+3x-n

x3

≤m≤

6+3x-n

x3

；
設(shè)h（x）=

2+3x-n

x3

，g（x）=

6+3x-n

x3

，x∈（0，n-2]；
h′（x）=

3x3-(2+3x-n)•3x2

x6

=

-6(x- n-2 2 )

x4

；
x∈[0，

n-2

2

）時，h′（x）＞0；x∈（

n-2

2

，n-2]時，h′（x）＜0，∴h(x)max=h(

n-2

2

)=

1 2 n-1

( n-2 2 )3

；
g′（x）=

3x3-(6+3x-n)•3x2

x6

=

-6(x+ 6-n 2 )

x4

＜0；
∴函數(shù)g（x）在[0，n-2]上單調(diào)遞減，∴g(x)min=g(n-2)=

2n

(n-2)3

；
∴

n 2 -1

( n-2 2 )3

≤m≤

2n

(n-2)3

，要使不等式有解，則：

n 2 -1

( n-2 2 )3

≤

2n

(n-2)3

，解得：n≤4；
∴n的最大值是4，此時1≤m≤1，∴m=1．

點評：考查導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，解一元二次不等式，函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值的關(guān)系，得出

2+3x-n

x3

≤m≤

6+3x-n

x3

并構(gòu)造函數(shù)是求解本題的關(guān)鍵．